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简论高考中的线性规划题型变化

来源:免费论文网 | 时间:2019-09-19 12:09:31 | 移动端:简论高考中的线性规划题型变化

简论高考中的线性规划题型变化 本文关键词:线性规划,高考,题型,变化

简论高考中的线性规划题型变化 本文简介:摘 要:自从高中数学线性规划问题进入高考,它作为直线方程和不等式的一个简单应用,出题的形式也越来越灵活,并且线性规划与其他知识进行交叉融合,不仅体现了高中数学常用的数学思想,而且还能体现学生综合分析问题的能力及解决实际问题的能力。线性规划问题现已成为高考中的必考题,每年占4分到5分,以选择、填空居多

简论高考中的线性规划题型变化 本文内容:

摘 要:自从高中数学线性规划问题进入高考,它作为直线方程和不等式的一个简单应用,出题的形式也越来越灵活,并且线性规划与其他知识进行交叉融合,不仅体现了高中数学常用的数学思想,而且还能体现学生综合分析问题的能力及解决实际问题的能力。线性规划问题现已成为高考中的必考题,每年占4分到5分,以选择、填空居多。 那如何更好的掌握线性规划题型变化,更有效复习线性规划的知识,本文就这个问题进行归纳总结。

关键词:线性规划;题型变化;高考复习

  线性规划是高中数学新课程改革后的新增内容,因其集形于一身,又能把众多知识交叉在一起,已成为高考的必考题,每年占4分到5分,选择、填空居多。纵观从2004年以来的浙江高考试题,它出题的形式越来越灵活,高考题型变化模式也很多,今天就线性规划问题类型变化及策略分4个演变阶段进行归纳总结。
  一、第一阶段:考基本简单题:
  例1.①画出表示的平面区域;(即图1)

                                   
                                    ②若(2,1)与(2,0)在的两侧,求a的范围。 图1
  析:
  变题:在同侧呢?
  ③试画出不等式组所表示的平面区域 图2
  ④、如图2,在平面直角坐标系中,已知三个顶点的坐标分别为A(0,2),B(-2,3),C(2,6),试写出(包括边界)所对应的二元一次不等式组。
  注:一些方法规律:二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法:
  ①直线定边界,测试点定区域。
  ②注意不等式中不等号有无等号,无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线。测试点可以选一个,也可以选多个,若直线不过原点,测试点常选取原点。也可选(1,0)、(0,1)等。
  ③应学会逆向使用。
  例2、(2009 年浙理改编)已知满足
  ①求的最大值 ②求的最小值 ③求的最大值
  师生分析:1、概念先弄清:有线性约束条件、目标函数、可行域、最优解等概念;
  2.第一小题为直线的截距型,
  步骤:①先画出可行域(作图必须要精确)
  方法一:②画出直线,并平移直线至C时Z取到最大值;
  ③求出最优解C点的坐标,从而得到Z的最大值;
  方法二:这类问题往往在端点出能取得最优解,所以只要代入A、B、C端点,找到最大值即可,
  解这类题型,注意Z与截距符号是否一致,(例)
  此时Z最大,反而直线截距的是最小值。
  变题:①、如求的最大值。 ②、如求的最大值
  3.第二小题为斜率型,看成(x,y)与(-1,-1)的斜率范围。
  这样的题目一般是先找角的变化情况,利用图象,从而得到斜率的范围。
  4.第三小题为距离型,看成(x,y)与(-1,-1)的距离的平方。
  注意点:与的区别
  变题:的最小值。
  5.有时最优解没有或不止一个。
  6.有一个题型:求整数解,
  例3、 (2011年浙理)若实数x,y满足不等式组,若x,y为整数,则的最小值为( ) A、 14 B、16 C、17 D、19
  规律方法:要求目标函数的最大值或最小值,必须先求出准确的可行域,令目标函数等于0,将其过原点对应的直线平行移动,最先通过或最后通过的顶点便是要找的最优解。
  特别提醒:解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的,所以作图应尽可能的精确,另外也要明确目标函数的几何意义是什么,是解答该类问题的关键。
  以上为线性规划最基本的题型。
二、第二阶段:考以实际生活为背景的线性规划
例2、(2012年世纪金榜P112)某企业生产甲,乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料1吨,B原料3吨,生产每吨乙产品要用原料3吨,B原料2吨;销售每吨甲产品可获利3万元,每吨乙产品可获利5万元,。那么该企业可获得的最大利润是( )
(A)12万元 (B)20万元
(C)25万元 (D)27万元
析:设乙为x吨,甲为y吨
∴ 求的最大值。
接下来就是第一阶段的解法。
2.在解实际应用题时,审题是关键
规律方法:线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,有时先列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,转化为简单的线性规划问题,再按如下步骤完成:
(1) 作图——画出约束条件所确定的平面区域;
(2) 平移——画出目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线L,并将直线L平行移动,以确定最优解的对应点M的位置;
(3) 求值——解方程组求出M点坐标(即最优解),代入目标函数,即可求出最值。
第三阶段:含有参数的线性规划
(一)线性约束条件不定型
例4、(广东惠州10届三模)已知x、y满足(k为常数)。若的最大值为8,求k。
析:此题是斜率定、截距在动问题:方法就是将直线进行“平移”。
方法一:k>0,观察为不可能;k<0,向上移,可形成可行域
① 观察发现为最优解,
代入
方法二:B点为交点,既先求出交点。再求出k即可。
总之,这类题都是先找到最优解,再进行解题。
例5、(2010年浙理数)
若实数x、y满足不等式组,且x+y的最大值为9,则实数m=( )
  A、 -2 B、 -1 C、 1 D、2
析:此题是过定点(-1,0),斜率动问题,方法就是直线进行将“旋转”。接下來方法如上
(二)、目标函数含参数型
例6、(09年安徽理)若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分,则k的值为( ) A、 B、 C、 D、
例7、(09年陕西卷)若x、y满足且,仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是( ) A、(-1,2) B、(-4,2) C、(-4,0) D、(-2,4)
方法总结 :不管是将直线进行平移或是进行旋转,最终是先找到最优解在哪是关键。
(三)线性条件含参数,且目标函数含参数
例8、设m﹥1,在x、y满足下,目标函数的最大值小于2,则m的取值范围是(A ) A、 B、 C、 D、
小小结:线性规划含参问题,从各个角度可以分为:
线性约束条件
目标函数



不定
不定

不定0
不定
各个题型都巩固一下,方法要学会归纳。
四、第四阶段:综合性强、或隐藏性比较深的线性规划
例9、(2012年台州四校联考理改编)实系数方程的一根在(0,1)内,另一根在(1,2)内。求的最值。
析:①根的分布与线性规划的综合题
②因为: 求的最值。
例10、(2011年浙江台州一模卷)如图,在梯形ABCD中,点P在阴影区域(含边界)中运动,则的取值范围。
方法一:

运用投影思想,在D点最大,在B、C最小。
方法二:如图建系
写出直线BC、BD、DC方程 ,从而写出线性约束条件
设P(x,y) ,写出线性目标函数Z=即可
例11、(2011年台州四校联考)在直角梯形ABCD中, ,动点P在以点C为圆心,且与直线BD相切的圆内运动,设
则的取值范围是( )
分析:同例10,建系,转化为线性规划问题
现在很多题目都是这样隐含线性规划问题,题型灵活多变,在解题目时必须把握问题的实质,进行分析转化处理。一般来说一张浙江数学高考中必有一题为线性规划题目,若一些题目做不来,看看能否建系再转化到线性规划问题。
以上是高考数学试卷线性规划成长过程,希对考生有所帮助。


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